Beispiel Black-Scholes-Modell

Beispiel Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell beschreibt die dynamische Preisentwicklung eines europäischen Optionsscheins V(t) abhängig von der Zeit t, vom unterliegenden Vermögenswert S(t) und der risikofreien Zinsrate r(t). Die mathematischen Grundfassung des Black-Scholes-Modells ist die einer partiellen Differentialgleichung.

Der NMPC-Graph erlaubt es, diese Differentialgleichung in allen Aspekten nichtlinear zu verallgemeinern. Mit einem daraus von CYNERELO erzeugten NMPC-Modell ist nicht nur die regressive Adaption des Modells auf historische Wirtschaftsdaten möglich, sondern auch dessen numerische Lösung.

Die Multiplikationen, Divisionen und Konstanten in der Black-Scholes-Differentialgleichung werden im NMPC-Graphen durch Modulatoren ersetzt und damit in ihrer Funktionalität verallgemeinert, ohne dabei das ursprüngliche Grundwesen dieser algebraischen Operationen aufzugeben.

Weil CYNERELO’s Grundfunktionalität nur gewöhnliche Differentialgleichungen abdeckt, muss die Logik von partiellen Differentialgleichungen – wie im hiesigen Modell – explizit modelliert werden. Der NMPC-Graph wird dann komplexer als üblich und erstreckt sich hier über vier miteinander zusammenhängende Teile.

Für das konzeptionelle Verständnis des Black-Scholes-Modells genügt aber schon die erste Grafik.

NMPC-Graphen_BlackScholes1

Die in der partiellen Differentialgleichung der Originalfassung erfolgende Ableitung nach S(t) wird im NMPC-Graphen durch kleine dynamische Differenzenwerte modelliert. Dafür sind die Variablen S1(t) und S2(t) so konzipiert, dass ihre Werte sehr dicht beieinander liegen. Damit ergeben sich auch sehr dicht beieinander liegende Werte von V1(t) und V2(t) für die Approximation der Ableitung delta_V / delta_S.

NMPC-Graphen_BlackScholes2

Auch die Variablen S2(t) und S3(t) sind auf dicht beieinander liegende Werte ausgelegt. Entsprechend resultieren auch die Werte von V2(t) und V3(t) dicht beieinander und ermöglichen die Approximation der zweiten Ableitung  delta2V / delta_S2.

NMPC-Graphen_BlackScholes3

Die vorgegebene Schrittvariable delta_SGrid wird vorgegeben und im Wert viel kleiner als das mögliche Intervall des Vermögenspreises gewählt.

NMPC-Graphen_BlackScholes4

Dieser Teil des NMPC-Graphen lässt sich ohne signifikanten Informationsverlust simplifizieren, weil Modulatoren, bei denen ein Eingang einen konstanten Wert hat, idR. nicht benötigt werden.

NMPC-Graphen_BlackScholes4s

Damit kann der vierte Teil des NMPC-Graphen mit wenigeren Komponenten ausgedrückt werden, was für ein daraus erzeugtes NMPC-Modell kürzere Rechenzeit und genauere Ergebnisse bei gleicher Datenlage ermöglicht.

 

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